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1. (2026九上·涪城期末) 在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球．
1. （1）估计袋子中白球的个数约为．
3. （2）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法）
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1. (2026七上·泸县期末) 请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”.如图①，若射线OC， OD在∠AOB的内部，且 $\text{[math]}$ 则称∠COD是∠AOB的“内半角”.请根据以上信息，解决下面的问题：
1. （1）如图①， ∠AOB=50°，∠BOD=10°. 若∠COD是∠AOB的“内半角”，求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （2）如图②，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 $\text{[math]}$ 至∠COD，即∠COD=∠AOB=60°，其中∠AOC=∠BOD=α. 若∠COB是∠AOD的“内半角”，求α的度数；
5. （3）把一块含60°的三角板 COD 按如图③方式放置，使OC边与OA 边重合，OD 边与OB边重合.将三角板 COD绕顶点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t(0<t≤30)秒. 旋转过程中当射线OA， OB，OC， OD构成“内半角”时，请求出t的值.
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1. (2026九上·龙湖期末) 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A . 赵爽弦图 B . 科克曲线 C . 笛卡尔心形线 D . 斐波那契螺旋线

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1. (2026九下·温州月开学考) 在直角坐标系中，将点A(1，1)绕原点按逆时针方向旋转45°到A'，则A'的坐标是( )

A . (1， 0) B . (0， 1) C . $\text{[math]}$ D . (0， $\text{[math]}$ ）

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1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，P ， D ， E三点分别在AB ， AC ， BC边上，∠DPE＝90°.
1. （1）若CD＝4，PD＝5，CE＝8，则PE＝；
3. （2）若AP＝AD ，求证：∠A＝2∠BPE；
5. （3）若P为AB的中点．求证：AD²＋BE²＝DE².
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1. 如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 $\text{[math]}$ m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 $\text{[math]}$ m，则BB'的长为（）

A . $\text{[math]}$ m B . 2 $\text{[math]}$ m C . $\text{[math]}$ m D . 2 $\text{[math]}$ m

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1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)

A . AC B . BC C . CD D . AD

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1. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE²－CE²等于（　　)

A . 7 B . 9 C . 16 D . 25

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1. 要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2026八上·杭州期末) 根据以下素材，探索解决问题．

如何剪出直角三角形的完美线？
素材	在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．
问题解决
（1）项目操作	如图，有一张直角三角形纸片， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数．
（2）项目探索	如图，在直角三角形纸片中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 剪一刀，剪痕与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．你发现 $\text{[math]}$ 满足什么条件时， $\text{[math]}$ 是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
（3）项目拓展	在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“完美线”与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿“完美线”翻折得到 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

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