湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题1数与式

1. (2017·大庆) 下列说法中，正确的是（   ）

2. (2018·普宁模拟) 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ）

3. (2015九上·句容竞赛) 设a= ，b= ，c= ，则a，b，c之间的大小关系是（   ）

4. (2019八上·顺德月考) 如图，直线l：y＝x+1交y轴于点A₁ ， 在x轴正方向上取点B₁ ， 使OB₁＝OA₁；过点B₁作A₂B₁⊥x轴，交l于点A₂ ， 在x轴正方向上取点B₂ ， 使B₁B₂＝B₁A₂；过点B₂作A₃B₂⊥x轴，交l于点A₃ ， 在x轴正方向上取点B₃ ， 使B₂B₃＝B₂A₃；…记△OA₁B₁面积为S₁ ， △B₁A₂B₂面积为S₂ ， △B₂A₃B₃面积为S₃ ， …则S₂₀₁₇等于（    ）

5. 若 ， ，且满足 ，则 的值为（ ）.

6. (2020·余姚模拟) 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（     ）

 

7. (2020·金华模拟) 一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（   ）

8. (2016·贺州) n是整数，式子  [1﹣（﹣1）ⁿ]（n²﹣1）计算的结果（　　）

9. (2020八上·兰陵期末) 如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（    ）

10. (2018八上·涞水期末) 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（   ）

11. 如果最简根式 与  是同类二次根式，那么使  有意义的x的取值范围是（　　）

12. 已知x为实数，化简  的结果为（　　）

13. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= ， 计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

14. (2020九上·浙江期末) 对于正整数n定义阶乘 ，则 （用阶乘表示）

15. 若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是。

16. (2020·东城模拟) 从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a_k ， b_k）构成一个数对M_k＝{a_k ， b_k）（其中k＝1，2，…，s ， 且将{a_k ， b_k}与{b_k ， a_k}视为同一个数对），若满足：对于任意的M_i＝{a_i ， b_i}和M_j＝{a_j ， b_j）（i≠j ， 1≤i≤s ， 1≤j≤s）都有a_i+b_i≠a_j+b_j ， 则s的最大值是．

17. (2015九上·句容竞赛) 使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是。

18. (2018·深圳模拟) 分解因式（xy﹣1）²﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=．

19. (2017·滨州) 观察下列各式： = ﹣ ；

= ﹣ ；

= ﹣ ；

…

请利用你所得结论，化简代数式： + + +…+ （n≥3且n为整数），其结果为．

20. (2018八上·浦东期中) 若实数 ，则代数式 的值为.

21. (2020·张家界) 观察下面的变化规律：

，……

根据上面的规律计算：

．

22. (2017·娄底) 刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．

23. (2020七上·安阳月考) 请先阅读下列一段内容，然后解答问题：

因为： ， ， ，…… ， ，

所以：

计算：

24. (2019七上·丰南期中) 计算：

25. 课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：

因为 ，所以 ，则有 ，

请你设计一种方法比较 与 的大小，

26. (2020七上·福田期末) 如果我们要计算1+2+2²+2³+……+*2⁹⁹+2¹⁰⁰的值，我们可以用如下的方法：

解：设S=1+2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰①式

在等式两边同乘以2，则有2S=2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰+2¹⁰¹②式

②式减去①式，得2S-S=2¹⁰¹-1

即S=2¹⁰¹-1

即1+2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1

[理解运用]计算：

27. (2019八上·南昌期中) 计算： 的结果.

28. (2020七下·诸暨期中) 请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：

当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法.

例如：

①

=

=

=

②

=

=

=

29. 计算 并求当x=1时，该代数式的值.

30. (2020八下·海林期末) 若x ， y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．

31. 某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动，并设计了两种方案：一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售；一种是采用有奖销售的方式，具体措施是：①有奖销售自2009年6月9日起，发行奖券10000张，发完为止；②顾客累计购物满400元，赠送奖券一张（假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元）；③世界杯后，顾客持奖券参加抽奖；④奖项是：特等奖2名，各奖3000元奖品；一等奖10名，各奖1000元奖品；二等奖20名，各奖300元奖品；三等奖100名，各奖100元奖品；四等奖200名，各奖50元奖品；纪念奖5000名，各奖10元奖品，试就商场的收益而言，对两种促销方法进行评价，选用哪一种更为合算？

32. (2020七上·杭州月考) 已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，试求a^2n-1a²ⁿ（n≥1）的值.

33. (2020七上·攀枝花期中) 某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．

方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．

现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）．

34. 问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

（a+b）²或  a²+2ab+b²

∴（a+b）² =a²+2ab+b²

这就验证了两数和的完全平方公式．

类比解决：

①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³

而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²

尝试解决：

②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³=  ▲   ． （要求写出结论并构造图形写出推证过程）．

问题拓广：

③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=  ▲   ． （直接写出结论即可，不必写出解题过程）

35. (2020七上·上海期中) 用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．

例： 能被2009整除吗？

解：

∵ 中有因数2009，

∴ 一定能被2009整除．

请你试一试：已知数字 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．

36. 3^p=4，( )^q=11，求3^2p-q的值

37.

已知 ，求a的值．

38. (2019·自贡) 阅读下列材料：小明为了计算 的值 ，采用以下方法：

设 ①

则    ②

②-①得  

∴

39. (2020七上·嘉兴期中) 任意无理数都是由整数部分和小数部分构成的.

已知一个无理数 ，它的整数部分是 ，则它的小数部分可以表示为 .例如： 

，即 ，显然 的整数部分是2，小数部分是 .

根据上面的材料，解决下列问题：

40. (2020·呼和浩特模拟) 我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）= .

例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1>9-2>6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）= = ．

41. (2021八上·江津期末) 材料：

数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因 ，将左边展开得到 ，移项可得 .（当且仅当 时，取“ ”）

数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数 ， ，都存在 （当且仅当 时，取“ ”）并进一步发现，两个非负数 ， 的和一定存在着个最小值.

根据材料，解答下列问题：

42. (2021八上·哈巴河期末) 阅读与思考

x²+（p+q）x+pq型式子的因式分解

x²+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？

我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x²+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x²+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）.

利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x²﹣x﹣6分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x²+（p+q）x+pq型的式子.所以x²﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.

上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示.

这样我们也可以得到x²﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.

请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：

43. (2020八上·昌平月考) 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．

例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：

44. (2020八上·会宁期中) 阅读材料，回答问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为 ， ，所以 与 ， 与 互为有理化因式.